[Blog] Pour une saine approche de la variance

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Alexandre Luneau
Parlons de la variance dans le poker ! J’imagine que la plupart d’entre vous ont au moins une petit idée du concept. Néanmoins, très peu de joueurs en ont une vision parfaitement claire. Une piqûre de rappel est toujours bonne, notre cerveau n’étant pas forcément "câblé" pour appréhender certaines réalités statistiques.

La variance, qu’est-ce que c’est ?

Définition de façon purement mathématique, la variance est une mesure utilisée pour mesurer la quantité de dispersion des éléments d'un échantillon de données.

Observons par exemple ces deux échantillons :

Echantillon 1 : 2, 1, 2, 4, 2, 3, 1, 1
Echantillon 2 : 1, 4, 1, 5, 0, 3, 1, 1

Moyenne de l’échantillon 1 : 2
Moyenne de l’échantillon 2 : 2

Ces deux groupes sont constitués de huit éléments chacun. Ils ont la même moyenne (2), mais comme vous pouvez intuitivement le constater, ils sont assez différents. Cette différence réside dans la distribution des éléments. La variance (ou la déviation standard) mesure la dispersion de chaque élément individuellement, par rapport à la moyenne de l’échantillon.

Ainsi, la déviation standard est de 1,07 pour l’échantillon 1, et de 1,77 pour l’échantillon 2. A noter : la déviation standard est tout simplement la racine carrée de la variance.

La variance au poker

Au poker, lorsque vous jouez en cash-game, vous pouvez à chaque main gagner, ou perdre des blindes (BB). Par exemple, un échantillon de 10 mains jouées en Heads-Up à une table de No-Limit Hold’em pourra ressembler à cela :

+ 10$
+ 60$
+ 5$
- 140$
+ 5$
+ 320$
- 10$
+ 1 000$
- 5$
+ 60$

Ici, la moyenne est de 130,5$, et la déviation standard de 326$ !

A première vue, la déviation standard au poker est donc énorme. C’est bien pour cela qu’on fait toujours appel à un grand nombre de mains lorsque l’on veut parler d’échantillon valable, et que la mesure BB/100 (grosses blindes gagnées toutes les 100 mains) est utilisée pour parler de winrate (taux de gains) et de déviation standard.

Comme vous pouvez l’imaginer, les différentes variantes et formats de poker ne sont pas soumis à la même variance. Entre le Razz joué en full ring et le Pot-Limit Omaha en heads-up avec un tapis de 300BB, la variance n’a absolument rien à voir !

Lorsqu’un joueur de poker parle de variance, c’est souvent dans l’idée d’expliquer la volatilité des résultats sur une période donnée. En effet, connaître la déviation standard sur un jeu en particulier, ainsi que notre winrate théorique, va nous permettre de faire une estimation des résultats sur une certaine période (ie. un certain nombre de mains jouées).

Si ces explications vous paraissent un tantinet obscures, pas de panique : des outils sont disponibles gratuitement en ligne pour vous permettre de vous faire une idée plus précise et plus parlante de l’impact de la variance, comme PokerDope. Rendez-vous sur cette page et testez vous-même en entrant des chiffres, puis cliquez sur le bouton « Calculate ».

La variance en chiffres

PokerDope

PokerDope

Une simulation de variance réalisée avec PokerDope

Avec un winrate de 3BB/100 (3 grosses blindes gagnées toutes les 100 mains), et une déviation standard de 120BB/100 (un taux classique en NLHE heads-up), le calculateur de variance est formel : vos chances de finir perdant après 100 000 mains jouées est de 21%. Ce n’est pas rien ! (Si on vous annonçait, au moment de sortir de chez vous, que l'ascenseur va tomber en panne une fois sur cinq, vous allez probablement prendre l'escalier)

De même, on notera que si l’on veut être certain à 95% d’être gagnant, il faut jouer environ 400 000 mains. Et cela nous laisse tout de même 5% de chances d’être perdant au bout du compte !

Vous pouvez aussi voir sur le graphique la distribution des gains après 100 000 mains (tout à droite), et constater qu’il y énormément de variations dans les résultats : la courbe rouge représente le pire résultat possible, et la courbe turquoise le meilleur. Et je le répète : on parle ici d’un joueur gagnant !

Avec un winrate de 10BB/100 (un joueur encore meilleur, donc) et une déviation standard identique de 120BB/100, notez que vous n’aurez besoin que de 40 000 mains pour avoir 95% de chances d’être gagnant.

Une leçon importante (au moins) à tirer de cela : le winrate, c’est important pour les gains (OBV !), mais aussi pour le bien-être mental !

Et les joueurs perdants, dans tout ça ? Une « baleine » de casino au winrate de -30BB/100 a moins de 1% de chances d’être gagnant sur 10 000 mains ! En ce sens, le poker est vraiment sans pitié pour les joueurs les plus mauvais. Lorsqu’ils quittent la salle de cash-game pour les jeux de hasard pur, le baccara leur offre 5% de chances d’être gagnant après 30 000 mains, et à la roulette, ils auront 5% de réaliser un profit sur 50 000 lancers de bille !

Voici quelques exemples de déviation standard pour quelques formats – plus le chiffre est élevé, plus la variance est importante :

No-Limit Hold’em en 6-max : 80
Pot-Limit Omaha en 6-max : 130
No-Limit Hold’em en heads-up : 130
Pot-Limit Omaha en heads-up : 180 

Bien entendu, d’autres paramètres vont influencer la déviation standard : la façon dont vous jouez, la façon dont vos adversaires jouent, et la profondeur des tapis.

Plusieurs problèmes vous viennent peut-être à l’esprit. Premièrement, vous ne pouvez jamais être certain de votre winrate. Vous pouvez simplement constater à posteriori vos gains en regardant votre échantillon de mains sur votre tracker online ou sur le calepin que vous apportez avec vous au casino et sur lequel vous notez consciencieusement le déroulé de vos parties (il existe d’ailleurs des applis pour cela.) Il vous faudra donc, avant de faire une simulation de vos futurs gains/pertes potentiels, établir un intervalle de confiance pour calculer votre winrate théorique.

Autre chose : le poker évolue ! Après 200 000 mains jouées (cela représente pour certains une année de grind en ligne, alors que pour d’autres, c’est carrément une vie entière en live), votre jeu et celui de vos adversaires aura bien évolué !

Et les tournois ?

WSOP
Jusque-là, nous n’avons parlé que de cash-game, mais PokerDope vous propose aussi un calculateur de variance en tournoi.

Imaginons un ROI (retour sur investissement) de 30%, un tournoi avec 1 000 joueurs, 10% de places payées, et un rake de 5%. Combien de tournois doit-on jouer pour être sûr de gagner à 95% ?

Réponse : environ 2 000 tournois ! 

Notez que sur 1 000 tournois joués, les chances d’être perdant sont de 15%.
Sur 50 tournois seulement, vos chances d’être perdant sont de 40%.

Au niveau de la distribution des gains, la variance est monstrueuse ! On pouvait le deviner, vu qu’en MTT, seules les toutes premières places sont véritablement lucratives.

Timex

Les joueurs de MTT ont souvient bien du mal à avoir une vision précise de leur ROI, à cause de la variance extrême et de la faiblesse de leur échantillon, en particulier en live. A ce sujet, je vous invite à jeter un œil à PokerShares, le nouveau projet de Mike « Timex » McDonald, un grand joueur de MTT qui était déjà à l’origine de BankOfTimex.

Sur ce site, vous pouvez parier sur les résultats des pros sur les gros tournois du circuit. Du coup, ce site est probablement la meilleure source à l’heure actuelle pour se donner une idée du ROI des grands joueurs sur les tournois, vu que Timex est l’un des « banquiers » de cette opération, il n’a pas trop intérêt à se planter dans ses estimations !

Sur ce site, vous pourrez notamment constater que le ROI sur les High Rollers est extrêmement faible (10% au maximum), mais que pour les top regs, il peut exploser (100% ou +) sur les tournois avec énormément de joueurs.

Votre arme contre la variance : la théorie

On le voit bien, la variance est très forte dans le poker, et il est très compliqué d’avoir de vraies certitudes sur notre valeur ou celle de nos adversaires si l’on se base sur un échantillon faible, quand bien même cet échantillon représenterait plusieurs mois, voire plusieurs années de grind.

Pour ces raisons, j’estime qu’il est très important de se construire une base théorique solide afin de pouvoir analyser rationnellement nos décisions en fonction de leur EV (espérance de gain) théorique. Cela vous aidera grandement à éviter d’être result oriented, c’est-à-dire de de juger votre stratégie en fonction du résultat final (« J’ai gagné, ça veut dire que c’était bien joué ») plutôt que la décision qui a mené à ce résultat. Ce n’est pas parce que vous avez touché un full et craqué les As que payer ce all-in avec 8-4 était forcément une idée judicieuse !

Cette compréhension théorique sera également votre meilleure alliée pour gérer au mieux les périodes de bad run, qui sont tout simplement inévitables.  Et si d’aventure vous voudriez vivre du poker, et donc devenir pro, vous constaterez aussi que vous lancer dans l’aventure sans avoir pour but de devenir un top reg avec un gros winrate, cela ressemble beaucoup à du gambling – un coup de poker, littéralement ! C’est très risqué : être juste un petit peu gagnant, cela n’est pas suffisant si vous ne voulez pas subir une variance folle.



Au passage, j’évoquais en préambule le fait que notre cerveau n’est pas forcément équipé pour gérer les grands ordres de grandeur et les évènements à probabilité faible. Pour creuser un peu, je ne peux que vous conseiller la vidéo ci-dessus, et plus généralement toute la chaîne de l’auteur de la vidéo ("ScienceEtonnante"), qui est d’excellente qualité si vous appréciez la vulgarisation scientifique.


Alexonmoon

En ligne, il a affronté, et battu les meilleurs joueurs du monde dans toutes les variantes imaginables, pour des enjeux stratosphériques. Au sein du Team Winamax, l’objectif d’Alexandre Luneau est clair : faire la même chose en tournoi live… et s’emparer d’un bracelet de Champion du Monde !

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